Els mots hem, em i amb, malgrat que en un context oral poden tenir una pronúncia similar, tenen usos i significats diferents. Per tant, cal fer servir l'un o l'altre segons el context:

hem
La forma hem és l'auxiliar d'un temps compost, la primera persona del plural del perfet d'indicatiu, i sempre va seguit d'un participi (del verb que sigui): hem + participi. Per exemple:

Hem decidit que anirem a viure junts.
Hem dit de fer-ho tan aviat com sigui possible.

em
La forma em és un pronom feble de primera persona que s'utilitza quan cal substituir un complement verbal (equivalent a 'a mi') o quan és la marca de primera persona d'un verb pronominal. Per exemple:

Em va donar les claus. ('va donar les claus a mi')
Em vaig barrejar amb els revoltats. (del verb pronominal barrejar-se)

amb
La forma amb és una preposició que expressa acompanyament, contacte, instrument, mitjà, etc. Per exemple:

Amb ell tot és més fàcil del que em pensava.
Va obrir la porta amb una radiografia.